घन व घनमूळ (Cube and Cube Root)
गणित विषयातील घन व घनमूळ |Cube and Cube Root - ghan v ghanmul |हा घटक अतिशय महत्तवाचा आहे. शालेय परीक्षा व स्पर्धा परीक्षेसाठी घन घनमूळ या संकल्पनांचा अभ्यास चांगला करणे गरजेचे आहे.घन व घनमूळ परस्परसंबंध लक्षात घ्या. घन व घनमूळ वरील उदाहरणे सोडविताना जर 1ते 10 संख्यांचे घन आणि घन संख्यांची घनमुळे पाठ असतील तर गणन क्रिया पटकन व अचूक होते, वेळ वाचतो.शालेय परीक्षा व स्पर्धा परीक्षेतील घन व घनमूळ वरील उदाहरणे सोडविण्यासाठी पूर्ण घन संख्येचे घनमूळ,धन संख्येचे घनमूळ, ऋण संख्येचे घनमूळ, दशांश अपूर्णांक संख्येचे घनमूळ या संबंधीचे महत्वाचे नियम पुढे दिलेले आहेत त्या बद्दल माहिती घेऊ.
घनमूळ (cube Root) :
जर x³ = p तर x ला p चे घनमूळ म्हणतात.
उदाहरणार्थ : 5³ =125 , 125 चे घनमूळ 5
घनमुळ दर्शविण्यासाठी ∛ हे चिन्ह लिहितात.
किंवा घातांक 1/3 लिहितात.
उदाहरणार्थ : 10 चे घनमूळ = ∛10 किंवा 10¹/³
∛(a³) = (a³)¹/³ = a
उदाहरणार्थ : ∛(5³) = (5³)¹/³ = 5
महत्त्वाचे नियम :
1) धन संख्येचे घनमूळ धन संख्या असते.
उदाहरणार्थ : ∛27 = 3
2) ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण संख्या असते.
∛-a³ = - a
उदाहरणार्थ : ∛-8 = ∛-2³ = -2
3) दशांश अपूर्णांक संख्येचे घनमूळ :
संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x स्थळे असतील तर घनमूळ संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x/3 स्थळे असतात.
उदाहरणार्थ : ∛0.008 = 0.2
4) ∛(ab) = ∛a × ∛b
उदाहरणार्थ : ∛(16) = ∛(8×2) = ∛8 × ∛2
5) ∛(a/b) = ∛a / ∛b
उदाहरणार्थ : ∛(5/4) = ∛5 / ∛4
6) पूर्ण घन संख्येचे घनमूळ परिमेय संख्या असते.
उदाहरणार्थ : ∛1000 = 10
7) पूर्ण घन नसलेल्या संख्येचे घनमूळ अपरिमेय संख्या असते.
उदाहरणार्थ : ∛24 = ∛(8×3) = 2 ∛3
8) पूर्ण घन संख्येचे घनमूळ काढण्याची पद्धत :
1. प्रथम संख्येचे मूळ अवयव काढा.
2. मूळ अवयवांचे तीन तीनचे गट करा.
3. प्रत्येक गटातला एक अवयव घ्या.(त्रिकुटाचे घनमूळ )
4. अवयवांचा गुणाकार करा.
5. गुणाकार हे घनमूळ.
उदाहरणार्थ : 216 चे घनमूळ
216 = 2 × 108
= 2 × 2 × 54
= 2 × 2 × 2 × 27
= 2 × 2 × 2 × 3 × 9
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
∛216 = 2 × 3
= 6
उदाहरण
परीक्षेसाठी उदाहरणे :
1] ∛-64 चे घनमूळ किती?
1) 8 2)4 3)-16 4) -4
उत्तर : (4)
∛64 = 4
∛-64 = - 4 [ ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण
संख्या असते.]
2] जर ∛1728 = 12 तर ∛0.001728 = किती?
1) -12 2) 0.12 3) 0.012 4) 3/25
उत्तर : (2) व (4)
∛1728 = 12
0.001728 = 0.12 [संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x स्थळे असतील तर घनमूळ संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x/3 स्थळे असतात. ]
6 स्थळे आहेत घनमूळात 2 स्थळे.
0.12 = 12/100 = 3/25
3] (0.008)¹/³ =..................
1) 0.02 2) 0.002 3) 0.2 4)0.000002
उत्तर : ( 3 )
(8)¹/³ = 2
(0.008)¹/³ = 0.2 [संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x स्थळे असतील तर घनमूळ संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x/3 स्थळे असतात. ]
3 स्थळे आहेत घनमूळात 1 स्थळ
4 ] ∛-(32/108) = m तर m ची किंमत कोणती?
1) 2/3 2) - (2/3 ) 3) 8/27 4) - (8/27)
उत्तर : (2)
∛-(32/108) = m
m = ∛-(32/108)
m = ∛-(8/27) [अंशाला व छेदाला 4 ने भागून ]
m = - 2/3 [ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण संख्या असते.]
[ ∛-a³ = - a ]
5] खालील पैकी कोणती संख्या परिमेय नाही?
1) (16)¹/³ 2) ∛-1000
3) ∛0. 125 4) ∛(16/54)
उत्तर : (1)
(16)¹/³ = ∛16
= ∛(8× 2)
= ∛8 × ∛2) [∛ab= ∛a × ∛b]
= 2 × ∛2
= 2 ∛2
6] 19683 या संख्येचे घनमूळ किती?
1)23 2) 33 3)17 4) 27
उत्तर : ( 4 )
19683 = 3 × 6561
= 3 × 3 × 2187
= 3 × 3 × 3 × 7 2 9
= 3 × 3 × 3 × 9 × 9 × 9
∛19683 = 3 × 9
= 27
7] ∛64 - ∛125 + √9 = ? (2017-18)
1) 2 2) -2 3) 6 4) -6
उत्तर : (1)
∛64 - ∛125 + √9
= 4 - 5 + 3
= 2
8] जर ∛p = 16 तर p = ..........
1) 3896 2) 3096 3) 4896 4)4096
उत्तर : ( 4 )
∛p = 16
P¹/³ = 16
(P¹ /³)³ = 16³ [ दोन्ही बाजूंचा घन करून ]
P = 16 × 16 × 16
P = 256 × 16
P = 4096
9] जर y³ = 3.375 तर y = किती?
1) 2.5 2) 0.5 3) 1.5 4) 0.15
उत्तर : ( 3 )
y³ = 3.375
y³ = 3375/1000
y³ = (15 × 15 × 15) / (10 × 10 ×10)
y = 15 /10 [ दोन्ही बाजूंचे घनमूळ ]
y = 1.5
10] ∛ 0.343 ×∛0.064 = किती?
1) 2.8 2) -2.8 3) 0.28 4) 0.028
उत्तर : ( 3 )
∛ 0.343 × ∛0.064
= 0.7 × 0. 4 [संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x स्थळे असतील तर घनमूळ संख्येत दशांश चिन्हाच्या नंतर x/3 स्थळे असतात. ]
= 0.28
11 ] ∛ 6859 = किती? (2020-21)
1) 13 2) 19 3) 23 4) 29
उत्तर :(2)
6859 = 19 × 361
= 19 × 19 ×19
∛ 6859 = 19
दुसरी पद्धत :
10³ = 1000
20³ = 8000
1000 < 6859 < 8000
6859 चे घनमूळ 10 आणि 20 च्या दरम्यान आहे
घन संख्येत एकक स्थानी 9 अंक असेल तर घनमूळ संख्येत एकक स्थानी 9 अंक असतो.
म्हणून 6859 चे घनमूळ 19.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
धन्यवाद
Post a Comment