NMMS-SCHOLARSHIP-EXAM MATHS : 10 अपरिमेय संख्या व वास्तव संख्या (Irrational Numbers & Real Numbers)

   

खरी स्वप्ने तर ती असतात, ज्यांच्यामुळे झोप लागत नाही.  

 

      अपरिमेय  संख्या  व  वास्तव संख्या  

    (Irrational Numbers  &    Real Numbers)

अपरिमेय संख्या |Irrational Numbers / aprimey snkhya |या वास्तव संख्या | Real Numbers / Vastv snkhya|आहेत. परिमेय नसलेल्या संख्या या अपरिमेय संख्या आहेत.अपरिमेय संख्याची किंमत अंकगणिती पद्धतीने अचूक काढता येत नाही.संख्या रेषेवर अपरिमेय संख्या अचूक दाखविता येतात.वास्तव संख्या रेषेवर प्रत्येक बिंदूजवळ एक आणि एकच वास्तव संख्या असते. प्रत्येक बिंदूजवळ असणारी वास्तव संख्या परिमेय संख्या किंवा अपरिमेय संख्याअसते. परिमेय संख्या व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या समूह तयार होतो.

अपरिमेय  संख्या : 

        ज्या संख्या दोन पूर्णांकांच्या  गुणोत्तराने     दर्शविता येत  नाहीत अशा संख्यांना अपरिमेय  संख्या म्हणतात. 

उदाहरणार्थ : √2,  √3,   √6,  3√5,   √(7/5), 

7.0234235732..,   3.030030003...,  Π.

     अपरिमेय  संख्यांचा संच :

     Q'  ={ x|x ∈ R परंतु  x  ∉  Q }

महत्त्वाचे  मुद्दे :

1) अपरिमेय  संख्यांचे  दशांश रूप अखंड  असते व अनावर्ती असते. 

उदाहरणार्थ:         √2  = 1.41421356... 

                         √3  = 1.73205081...

 2) पूर्ण  वर्ग  नसलेल्या  संख्यांची  वर्गमुळे   अपरिमेय संख्या  असतात. 

  उदाहरणार्थ :  √13 ←  अपरिमेय  संख्या 

3) अपरिमेय  संख्या  संख्यारेषेवर  दाखवता   येतात. 

 4) परिमेय  संख्या  आणि  अपरिमेय संख्या  यांची  बेरीज नेहमी अपरिमेय संख्या येते. 

उदाहरणार्थ : 5+√3    ←  अपरिमेय  संख्या 

5) शून्येतर  परिमेय  संख्या  आणि  अपरिमेय  संख्या  यांचा  गुणाकार  नेहमी अपरिमेय संख्या येतो. 

उदाहरणार्थ : 2×√17 = 2√17 ← अपरिमेय संख्या

वास्तव  संख्या ( Real  Numbers ) :

  वास्तव  संख्यांचा  समूह  हा परिमेय संख्या  व  अपरिमेय  संख्या  मिळून तयार  होतो. 

      R  = Q  U Q'

      R = { x | x ∈ Q  किंवा  x ∈ Q' }

उदाहरणार्थ : 3,  0  17/2,  √( 23) , 0.7, 0.5 

1) संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक  आणि  एकच वास्तव संख्या दर्शवतो. तसेच प्रत्येक वास्तव  संख्या ही  संख्यारेषेवरील एक  आणि एकाच बिंदूंने  दर्शविली जाते.

2) प्रत्येक  परिमेय  संख्या  ही  वास्तव संख्या  असते. 

उदाहरणार्थ : शून्य (0) ही  परिमेय  संख्या वास्तव  संख्या आहे. 

3) प्रत्येक  अपरिमेय  संख्या  ही  वास्तव संख्या  असते. 

उदाहरणार्थ : Π,  √7  या अपरिमेय  संख्या वास्तव  संख्या  आहेत. 

........................................................

 परीक्षेसाठी  उदाहरणे :

1] खालीलपैकी  असत्य  विधान  कोणते? 

1)  22/7 ही   अपरिमेय  संख्या  आहे. 

2)  Π  ही   अपरिमेय  संख्या  आहे

3)   3.14 ही  वास्तव  संख्या  आहे. 

4) √( 1/4)   ही  परिमेय  संख्या  आहे.

उत्तर : (1)

       22/7 ही   परिमेय  संख्या  आहे. 

2] खालीलपैकी  अपरिमेय  संख्या  कोणती? 

1) 1.707007...                 2) 0.5̅ ̅            

3) 22/7                            4) √(0.09)

उत्तर : (1)

1.707007...   ही  अपरिमेय  संख्या  आहे. दशांश  रूप  अखंड व  अनावर्ती  आहे. 

3] खालील पैकी  असत्य  विधान  कोणते? 

1) सर्व अपरिमेय  संख्या  वास्तव  संख्या  आहेत. 

2) सर्व परिमेय  संख्या  वास्तव  संख्या  आहेत. 

3) सर्व  वास्तव  संख्या अपरिमेय  संख्या आहेत. 

4) सर्व   वास्तव  संख्या  परिमेय  संख्या नाहीत. 

उत्तर  :(3)  

सर्व   वास्तव  संख्या  अपरिमेय  संख्या नाहीत. काही   वास्तव संख्या  या  परिमेय  संख्या  आहेत. 

4]खालील  पैकी  सत्य  विधान  कोणते?  

1) परिमेय संख्या  व  अपरिमेय  संख्या  मिळून   वास्तव  संख्या  तयार होतात. 

2) 22/7 ही  अपरिमेय  संख्या  असून  वास्तव      संख्या  आहे. 

3)   √(-4) ही  वास्तव  संख्या  आहे. 

4)√(0. 16)  ही  परिमेय  संख्या  आहे. 

उत्तर :(1) व  (4)

वास्तव  संख्यांचा  समूह  हा परिमेय संख्या  व  अपरिमेय  संख्या  मिळून तयार  होतो. 

 √(0. 16)  =  0.4  ही  परिमेय  संख्या  आहे. 

5 ]    3√2  ही  संख्या............ 

 

1)    नैसर्गिक  संख्या  आहे. 

2)   पूर्णांक  संख्या  आहे. 

3)   परिमेय संख्या  आहे. 

4)     अपरिमेय संख्या  आहे.

 

उत्तर  :(4)

            3√2   =   3 ×√2              

शून्येतर  परिमेय  संख्या  आणि  अपरिमेय  संख्या  यांचा  गुणाकार  नेहमी अपरिमेय संख्या येतो. 

••••••••••••••••••••••••••©•••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••  

Post a Comment