सतत काही ना काही अभ्यास हे आपल्या आयुष्याचे ध्येय असले पाहिजे.
वर्ग व वर्गमूळ (Squares And Square Roots)
वर्ग व वर्गमूळ या घटकाचा अभ्यास करताना गणितातील पायाभूत ज्ञान चांगले असणे आवश्यक आहे. परिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या, पूर्णवर्ग संख्या यांचा अभ्यास आणि दशांश अपूर्णांकांचा, परिमेय संख्यांचा, अपरिमेय संख्यांचा गुणाकार, भागाकार, संक्षिप्तरूप देणे या क्रिया अचूक करता येणे, किमान 1 ते 30 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग येणे. वर्ग माहित असल्यास पूर्णवर्ग संख्येचे वर्गमूळ लिहिता येते.
काही महत्त्वाचे नियम
1) सम संख्येचा वर्ग सम संख्या असतो.
उदा. 14² = 196
2) विषम संख्येचा वर्ग विषम संख्या असतो.
उदा. 13² = 169
3) धन संख्येचा वर्ग धन संख्या असतो.
उदा. 15² = 225
4) ऋण संख्येचा वर्ग धन संख्या असतो.
उदा. (-5)² = 25
5) परिमेय संख्येचा वर्ग परिमेय संख्या असतो.
उदा. (5/7)² = 25 / 49
6)अपरिमेय संख्येचा वर्ग परिमेय किंवा अपरिमेय संख्या असतो.
उदा. (√3 )² = 3 ← परिमेय संख्या
उदा.(3 +√2 )²/ = 3² + 2 × 3 ×√2 + (√2)²
= 9 + 6√(2 ) + 2
= (11 +6√2)←अपरिमेय संख्या
7) 0² = 0
8) 1² = 1
9) x च्या कोणत्याही किमतीला x² >0 ,(x≠0)
10) पूर्णवर्ग संख्येचे वर्गमूळ परिमेय संख्या असते.
उदा. √(81 ) = 9
11) n व n+1 या पूर्णांकांच्या वर्गांमधील
मधील फरक = ( n + 1)² - n² = 2n+1
उदा. 12 व 12+1 या पूर्णांकांच्या वर्गांमधील फरक
= 2n +1 = 2 ×12 +1 = 24+1 = 25
(12+1)² - 12² = 13² - 12² = 169-144
= 25
12) जर n ही पूर्ण वर्ग संख्या असेल तर त्या
नंतरची पहिली पूर्णवर्ग संख्या = n+2√n+1
25 नंतरची पहिली पूर्ण वर्ग संख्या
= 25 + 2√(25 ) + 1
= 25 + 2 ×5 + 1
= 25 + 10 + 1
= 36
परीक्षेसाठी उदाहरणे :
1] 3 +1/16 या संख्येचे धन वर्गमूळ.......... आहे.
1)√(7/4 ) 2)√(3/16)) 3)7/4 4)√3
उत्तर : (3)
3+1/16 = 49/16
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊ
√(3+1/16) = 7/4
2]जर m= √(0.2)×√(0.032) तर m=किती?
1)8 2)0.08 3)0.80 4 )0.008
उत्तर : (2)
m = √(0.2 ) × √(0.032 )
m = √(0.2×0.032 ) [√a×√b =√(ab)]
m = √(0.0064)
m = 0.08
3] जर √[ √(16)+98×102] = m² तर
m=............
1) 10 2 ) 16 3 )14 4)8
उत्तर : (1)
√[ √(16 ) + 98 × 102 ] = m²
√[ 4 + (100-2 ) × (100+2 )] = m²
√[ 4 +100²- 2² ] = m²
√[ 4 +10000 - 4] = m²
√(10000) = m²
100 = m²
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊ.
10 = m
4] जर m² = 121 तर खालीलपैकी m
ची अचूक किमत कोणती?
1) m = 11 m = 0
2) m = -11 , m ≠ 11
3) m = 11 , m ≠ -11
4) m = 11 , m = -11
उत्तर : (4)
√(121 ) = ± 11
5] खालीलपैकी सत्य विधान कोणते?
a) x² < 0 ( x ≠ 0 )
b) x² > 0 ( x ≠ 0 )
c) x² = 0 ( x = 0 )
d) x² > 0 ( x= 0 )
1) a व b 2) b व c 3) c व d 4) a व d
उत्तर : (2)
x²>0 शून्येतर वास्तव संख्येचा वर्ग धन असतो.
x² = 0 शून्य चा वर्ग शून्य असतो. 0² = 0
6] √(1296) = x² तर x=?
1) 216 2) 1296 3) 6 4) 36
उत्तर : (3)
√(1296) = x²
36 = x²
6² = x²
6 = x
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
धन्यवाद
Post a Comment