NMMS-SCHOLARSHIP-EXAM MATHS : 11 घन (Cube) करणे.

 वाचनासाठी वेळ द्या, कारण  तो ज्ञानाचा पाया  आहे. 

घन (Cube ) 

              घन व घनमूळ|Cube and Cube Root -ghan v ghanmul|ही गणितातील महत्वाची संकल्पना आहे.घन व घनमूळ,विस्तार, महत्वमापन या घटकांच्या अभ्यासासाठी घन करणे ही संकल्पना परिपूर्ण समजून घेणे खूप महत्वाचे आहे.शालेय परीक्षा व स्पर्धा परीक्षां- मध्ये घन करणे यांवर उदाहरणे असतात किंवा उदाहरणांच्या पायऱ्यांमध्ये घन करणे ही कृती करावी लागते.त्यासाठी घन करण्याच्या कृतीचा, नियमांचा अभ्यास चांगला असणे आवश्यक आहे.उदाहरणांचा सराव केल्यास घन करण्याचे गणिती कौशल्य आपले विकसित होते.आता आपण घन करणे बद्दल माहिती मिळवू.

घन  (Cube)      :   

घन  करणे म्हणजे  तीन  वेळा गुणाकार  करणे 

 तीन वेळा  गुणाकार  केल्यास  येणारा  गुणाकार  हा  घन  असतो. 

a चा  घन    =  a × a × a

5 चा  घन    = 5 × 5 × 5 = 125

घन  दर्शविण्यासाठी घातांक 3 लिहितात. 

   a³  =   a × a × a

  4³   = 4 × 4 × 4 = 64

                * महत्त्वाचे नियम *

1 )  धन (+) संख्येचा  घन  धन (+)  संख्या  असते. 

उदारणार्थ :  2³ =  8

2)   ऋण संख्येचा  घन  ऋण (-)  संख्या  असते. 

उदाहरणार्थ :   (-1 )³ =  -1

3) सम  संख्येचा  घन  सम  संख्या  असतो. 

उदाहरणार्थ :   6³ = 216

4) विषम  संख्येचा  घन  विषम  संख्या  असतो. 

उदाहरणार्थ :   7³ = 343

5) संख्येचा  घन  हा   संख्या  व  संख्येचा  वर्ग  यांचा  गुणाकार  असतो. 

                       a³     =   a   ×   a²

 उदाहरणार्थ :   3³     =   3  ×   3²

                      3³      =   3  ×  9

                      3³      =   27

6) पूर्णांक संख्येच्या घनाला पूर्ण घन संख्या म्हणतात.

 उदाहरणार्थ : 1,  8, 27,  64,125,  -1, -8 , - 27

7)                   (ab)³      =   a³ × b³

उदाहरणार्थ :  ( 2 × 5 )³  =  2³ × 5³

                     ( 10 )³     =  2³ ×  5³

                                    =   8  × 125

                                    =    1000

8)            ( a / b )³     =   a³ /  b³

उदाहरणार्थ :  ( 3 / 8 )³  =   3³  /  8³

                                     =   27 /  512

9) दशांश  अपूर्णांक  संख्येचा  घन  :

 संख्येत दशांश  चिन्हाच्या नंतर  x  स्थळे असतील     तर  घन  संख्येत   दशांश  चिन्हाच्या नंतर   3x   (तिप्पट ) स्थळे  असतात. 

उदाहरणार्थ :  (0.05)  =  0.000125

10) 1 पासूनच्या  n पर्यंतच्या  क्रमवार   संख्यांच्या  घनांची  बेरीज : 

      1³+ 2³+ 3³ +...+ n³ = ( 1 + 2 + 3 +...+ n )²

उदाहरणार्थ :  1³ + 2³ + 3³     =   ( 1 + 2 + 3 )²

                    1 + 8  + 27      =   ( 6 )²

                                 36       =   36

परीक्षेसाठी  उदाहरणे :

1)  23 चा  घन  किती? 

1)) 12167   2) 6859  3) 13824   4)  19683

     उत्तर   :  ( 1 )

   ( 23 )³  =  23  ×  23  ×  23  

               =   529  ×  23

               =  12167

2) (-2/7)³  =  किती? 

1) 8/ 343 2)  4/49   3) -4/49   4)  -8/343

      उत्तर    :  (4)  l

(-2 / 7 )³  =   -   2³ / 7³

                =  -   8 / 343   [ऋण (-) संख्येचा  

 घन ऋण  (-)  संख्या  असते.]

3] (0.003 )³  =  x  तर x ची किंमत किती?

1)  0. 000009               2) 0.000027

3)  0.000000027         4) 0.027

4] खालील पैकी कोणती संख्या पूर्ण घन आहे?

1) 1133    2) 1331    3)1313    4) 3311    

 उत्तर  :   (2)

             (11)³      =   1331

5]   जर (1³+ 2³+ 3³+ 4³)   =   p तर p ची किंमत किती?

1)  100     2) 10     3) 1000      4) - 100 

उत्तर : ( 1)

  1 पासून   n पर्यंतच्या  क्रमवार   संख्यांच्या  घनांची  बेरीज 

    =  1³+ 2³+ 3³ +...+ n³ = ( 1 + 2 + 3 +...+ n )²

उदाहरण :

   1³+ 2³ + 3³ + 4³ ) =  (1 + 2 + 3 + 4 )²

                                =  ( 10 )²

                                =  100

6] खालील पैकी कोणती संख्या पूर्ण घन नाही?

1)   729   2)   512    3)  675   4) 2197

         उत्तर : (3 )

                   9³    =  729

                   8³    =  512

                   13³  =  2197

7]     (-  m/n )³  =...........

1) m³/n³  2) m/n   3) - m³/n³   4) mn

 

  उत्तर : ( 3 )

         3³   =   27

(0.003)³  = 0.000000027      [संख्येत दशांश  चिन्हाच्या नंतर  x  स्थळे असतील तर  घन  संख्येत  3 x   (तिप्पट ) स्थळे  असतात. ]

8] 19² × n  ही पूर्ण घन  संख्या आहे. तर n ची  किंमत किती?

1) 18         2) 19           3) 17         4) 21   

उत्तर  : (2)

               19³   =    19  × 19²

[ पूर्णांक  संख्येच्या घनाला पूर्ण घन संख्या म्हणतात.

संख्येचा  घन  हा    संख्या  व  संख्येचा  वर्ग  यांचा  गुणाकार  असतो. ]

9]   (√3)³ ची किंमत किती?(2015)

1)3√3        2) 27       3)  √3         4)  9

उत्तर  :  (1)

(√3)³      =  √3  ×( √3)²    [ संख्येचा  घन  हा

संख्या व  संख्येचा  वर्ग  यांचा  गुणाकारअसतो. ]

                  

             =  √3    ×  3       [  (√a)²   = a  ]

            

10]    [ ( - 1 )³]² =   .......

1)  - 6         2)  6        3)  -1        4) 1    

       उत्तर   :  ( 4  )

    [ ( - 1 )³]²   =  (- 1 )³   ×   (-1 )³

                       =   ( - 1 )   ×   ( - 1 ) [ ऋण संख्येचा  घन  ऋण (-)  संख्या  असते. ]

                       =     1

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

                                               धन्यवाद 

Post a Comment