समजून घ्यावं लागत ,
वेळ द्यावा लागतो
वर्तुळ - जीवा ( Circle - Chord )
महत्त्वाचे मुद्दे :
वर्तुळ आकृती,
1) बिंदू ' O' हे वर्तुळकेंद्र आहे.
2) रेख OD ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.
3) रेख AB हा वर्तुळाचा व्यास आहे.
4) रेख PQ ही वर्तुळाची जीवा आहे.
वर्तुळाच्या जीवाचे गुणधर्म ( Properties of chord of a circle )
• वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो.
• वर्तुळाचे केंद्र व त्या वर्तुळातील जीवेचा मध्यबिंदू यांना जोडणारा रेषाखंड हा त्या जीवेला लंब असतो.
• जीवेची लांबी, त्रिज्या व जीवेचे केंद्रापासून अंतर यांचा संबंध पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार ठरतो.
परीक्षेसाठी उदाहरणे :
1] एका वर्तुळाची त्रिज्या 9/2 सेमी आहे. तर सर्वात मोठ्या जीवेची लांबी किती?
1) 18 सेमी. 2) 9/4 सेमी. 3) 4.5सेमी. 4) 9 सेमी.
उत्तर : (4)
सर्वात मोठी जीवा = व्यास
= 2 × त्रिज्या
= 2 × 9/2
= 9 सेमी.
2] केंद्र P असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB ची लांबी 25 सेमी आहे. रेख PQ⊥ जीवा AB, तर l(QB) किती?
1) 25 सेमी. 2) 5 सेमी. 3) 12.5सेमी.
4) 50 सेमी.
उत्तर : (3)
रेख PQ⊥ जीवा AB
• वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो.
∴बिंदू Q हा जीवा AB चा मध्यबिंदू आहे.
∴ l(QB) =( 1/2 ) × l(AB)
∴ l(QB) =( 1/2 ) × 25
∴ l(QB) = 12.5 सेमी.
3] ' O ' केंद्र असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 13 सेमी. असून त्या वर्तुळात एक जीवा वर्तुळकेंद्रापासून 5 सेमी अंतरावर आहे. तर त्या जीवेची लांबी किती? (2018-19)
1) 12 सेमी. 2) 10 सेमी. 3) 20 सेमी.
4) 24 सेमी.
उत्तर : (4)
कच्ची आकृती,
Δ APO हा काटकोन त्रिकोण आहे.
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
l (AP)² +l (OP)² = l(AO)²
(AP)² + 5² = 13²
(AP)² + 25 = 169
(AP)² = 169 - 25
(AP)² = 144
AP = 12
वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो.
AB = 2 × AP
AB = 2 × 12
AB = 24 सेमी.
4] केंद्र 'O'व त्रिज्या 3 सेमी असलेल्या वर्तुळात जीवा AB = 3.4 सेमी. व जीवा PQ= 4.3 सेमी वर्तुळ केंद्राच्या एकाच अंगाला आहेत. तर अंतर (OA × OP ) = किती? (2017-18)
1) ( 3.4 +4.3) सेमी.
2) ( 3× 3) सेमी.
3) ( 3.4 × 4.3) सेमी.
4) 6 सेमी.
उत्तर : ( 2)
Δ वर्तुळाची त्रिज्या = l(OA) = l(OP) = 3 सेमी.
(OA × OP) = (3 × 3 ) सेमी.
5] एका वर्तुळाचे केंद्र ' C ' असून वर्तुळाची त्रिज्या 17 सेमी. आहे. त्या वर्तुळाच्या एका जीवेची लांबी 30सेमी असेल तर ती जीवा वर्तुळकेंद्रापासून किती अंतरावर असेल? (2019- 20)
1) 6 सेमी. 2) 8 सेमी. 3) 9 सेमी. 4) 19 सेमी.
उत्तर : (2)
वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो.
2 × AM = AB
AM = AB / 2
AM = 30 / 2
= 15 सेमी.
Δ CMB हा काटकोन त्रिकोण आहे.
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
l (CM)² +l (MB)² = l(CB)²
(CM)² + 15² = 17²
(CM)² + 225 = 289
(CM)² = 289- 225
(CM)² = 64
CM = 8 सेमी.
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••©••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
धन्यवाद
Post a Comment