NMMS-SCHOLARSHIP-EXA)M : 62 - वर्तुळ - जीवा ( Circle - Chord ) : 2

 

"शिस्त लावून घ्या. भरपूर मेहनत करा."

वर्तुळ  - जीवा ( Circle - Chord )

महत्त्वाचे मुद्दे :

वर्तुळकंस :

आकृतीत, 

1)  केंद्रीय कोन ( Central Angle ): ∠BOD हा केंद्रीय  कोन आहे. 

केंद्रीय कोनाचे माप  = संबंधित लघुकंसाचे माप 

         ∠BOD      =      m (कंस BD) 

2) लघुकंस (अर्धवर्तुळापेक्षा लहान ) : कंस AXD, कंस BD, कंस PQB, कंस BQ.

3) विशालकंस (अर्धवर्तुळापेक्षा मोठा)  :   

कंस PAB, कंस ADQ,कंस BXP.

4) अर्धवर्तुळकंस : कंस ADB,

 कंस APB. 

5) कंसाचे माप (Meserment of Arc):

वर्तुळकंसाशी संबंधित केंद्रीय कोनाच्या  मापाला त्या कंसाचे माप म्हणतात. 

6)   लघुकंसाचे माप     =  संबंधित केंद्रीय कोनाचे माप 

m(कंस DB)  =  m∠BOD  

7) विशालकंसाचे माप  = 360° - संगत  लघु कंसाचे  माप

m(कंस DAB) = 360°- m(कंस DB) 

                        = 360° - m∠BOD.

8) पूर्ण वर्तुळ कंसाचे माप 360° असते. 

9) अर्धवर्तुळ कंसाचे माप 180° असते. 

वर्तुळाच्या जीवेचे संगत कंस (Arcs corresponding to chord of a circle )

सोबतच्या आकृतीत, 

P

 

रेख AB ही जीवा आहे. 

लघुकंस AXB व विशालकंस AYB  यांना जीवा

AB चे संगत कंस म्हणतात. 

जीवा AB ही लघुकंस AXB व विशालकंस AYB यांची  संगत जीवा आहे. 

एकरूप कंस (Congrunt arcs ):

1) जर एकाच वर्तुळाच्या दोन कंसांची मापे समान असतील तर ते दोन कंस एकरूप असतात.

2) एका किंवा एकरूप वर्तुळाच्या एकरूप कंसांशी निगडित असलेल्या जीवा एकरूप असतात. 

3) एका किंवा एकरूप वर्तुळाच्या दोन जीवा एकरूप असतील  तर त्यांच्याशी संबंधित कंस    एकरूप असतात. 

परीक्षेसाठी उदाहरणे :

1]  केंद्रीय ∠APB चे माप 50° आहे, तर संगत  लघुकंस AXB  चे माप काढा.

1) 50°    2) 100°    3) 130°    4) 260°  

उत्तर : (1)

लघुकंसाचे माप  = लघु कंसाच्या केंद्रीय कोनाचे माप

लघुकंसाचे माप  =   50° 

लघुकंस AXB  चे माप = 50° 

2] केंद्र 'O' असणाऱ्या वर्तुळात m(कंस BC) 

= 50°, m∠AOB = 160° तर    m(कंस AC)   =.............  

1) 30°    2) 150°    3) 210°    4) 360°

   उत्तर : (2)

m (कंस BC) = 50°, 

       

 लघुकंसाचे माप  = लघु कंसाच्या केंद्रीय कोनाचे माप

m∠BOC  =  m(कंस BC) = 50° 

m∠AOB = 160°

m∠BOC + m∠AOB + m∠AOC = 

360°

50° +  160° + m∠AOC = 360°

210° + m∠AOC = 360°

 m∠AOC = 360° - 210°

m∠AOC =  150°

लघुकंसाचे माप  = लघु कंसाच्या केंद्रीय कोनाचे माप 

m(कंस AC) =   m∠AOC  =  150° 

3] 'O'  केंद्र असलेल्या वर्तुळात m(कंस AXB) =   m(कंस CYD) तर खालीलपैकी सत्य  विधान कोणते? 

1) m(कंस AX) =  m(कंस DY)

2) m∠AOB  = m∠COD

3) m(कंस BX) =  m(कंस CY)

4) कंस AXB   ≅ कंस CYD

उत्तर : (2) व (4)

m(कंस AXB) =   m(कंस CYD) 

लघुकंसाचे माप  = लघु कंसाच्या केंद्रीय कोनाचे माप

m∠AOB  = m∠COD..............(2)

m(कंस AXB) =   m(कंस CYD) 

जर एकाच वर्तुळाच्या दोन कंसांची मापे समान असतील तर ते दोन कंस एकरूप असतात.

कंस AXB   ≅ कंस CYD........(4)

4] O' केंद्र असलेल्या वर्तुळात  जीवा AB  ≅ जीवा  CD  तर खालीलपैकी असत्य  विधान कोणते? 

1) कंस AXB   ≅ कंस CYD

2) m∠AOB  = m∠COD

3) m(कंस ADB) =   m(कंस DAC) 

4) m(कंस ADB)  ≠ m(कंस DAC) 

उत्तर : (4)

एका किंवा एकरूप वर्तुळाच्या दोन जीवा एकरूप असतील  तर त्यांच्याशी संबंधित संगत लघुकंस  व संगत विशालकंस  एकरूप असतात. 

कंस AXB   ≅ कंस CYD........(1)

m(कंस AXB)  =  m(कंस CYD) 

m∠AOB  = m∠COD............... (2)

m(कंस ADB)  =   m(कंस DAC)......... (3)

5] O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाचा रेख MN हा व्यास आहे. काही केंद्रीय कोनांची मापे दिली आहेत. तर m (कंस AB) +m (कंस CD) 

ची किंमत किती? 

1) 35°      2) 55°       3)  90°      4) 45°

उत्तर : (3)

m∠AOM + m∠AOB + BON=180° ......  अर्ध वर्तुळातील केंद्रीय  कोन 

m∠100° + m∠AOB + 35° = 180°

 

m∠AOB + 135° = 180°

m∠AOB   = 180° -  135°

m∠AOB   =  45°

याप्रमाणे 

  m∠COD  =  45°

लघुकंसाचे माप  = लघु कंसाच्या केंद्रीय कोनाचे माप

m(कंस AB) = m∠AOB = 45°

m(कंस CD) = m∠AOB = 45°

m (कंस AB) +m (कंस CD) = 45° + 45°

 

                                         =  90°

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••©••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

                                           धन्यवाद 

Post a Comment