NMMS-SCHOLARSHIP-EXAM MATHS :27बहुपदींचा भागाकार(Division of Polynomials)

शिक्षण हे  उत्कर्षाच्या इमारतीचा पाया  आहे. 

 बहुपदींचा  भागाकार

(Division of Polynomial) 

बहुपदी (polynomial ):

एका चलातील बैजिक राशीच्या प्रत्येक पदातील चलाचा घातांक हा पूर्ण संख्या (0,1,2,3,......) असेल, तर ती राशी एका चलातील बहुपदी असते. 

उदाहरणार्थ : x²+2x+3  ;  3y³ +5y²+ y+7

 

बहुपदीची कोटी  (Degree of polynomial) :                        

दिलेल्या बहुपदीतील चलाच्या सर्वात मोठ्या घातांकास त्या बहुपदीची कोटी म्हणतात. 

 x²+3   या बहुपदीची कोटी 2आहे. 

  y+5 या बहुपदीची कोटी 1आहे. 

कोणत्याही शून्येतर स्थिरपदाची कोटी शून्य असते. 

उदाहरणार्थ : 7 ची  कोटी शून्य असते कारण 7 = 7×x⁰

भागाकाराची क्रिया :

महत्वाचे मुद्दे :

1) भाज्य  = भाजक  ×  भागाकार + बाकी 

2) भागाकारात बाकी शून्य येते, तेव्हा भाजक त्या  भाज्याचा अवयव असतो. 

3) घातांकाचे नियम वापरून भागाकार करतात. 

x⁵ ÷ x² =  x⁵⁻²  = x³ 

4) अवयव  पाडूनही भागाकाराची काही उदाहरणे सोडवता येतात. 

उदाहरणार्थ : (2x²+3x) ÷ x 

               = x (2x +3 ) /x 

                = 2x +3

5) भाज्य व  भाजक बहुपदीतील पदे  ही घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने नसतील  तर  ती बहुपदी  घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने लिहावी.  ती तशी लिहिताना एखाद्या घातांकाचे पद नसेल तर त्याचा सहगुणक 0 लिहून घातांकांचा उतरता क्रम पूर्ण करावा. 

उदाहरणार्थ :    2+y  ) y³ + 5y +6 

                      y+2  ) y³ +0y² +5y+6

6) बहुपदीचा भागाकार करताना जेव्हा बाकी शून्य उरते किंवा बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा लहान असते तेव्हा भागाकाराची क्रिया पूर्ण  होते. 

एकपदीला  एकपदीने भागणे (To divide a monomial by a monomial ) :

       

उदाहरण :      x³   ÷  x

           x²

        x   ) x³                  x³ ÷ x =   x²

            ±  x³    .........     x² × x = x³                         

     ··························                                            

           0                                                                                             

भागाकार =   x²

बाकी      =  0

बहुपदीला  एकपदीने भागणे (To divide a polynomial by a monomial ) :

                                                               

           उदाहरण :   ( x²+2x +1 ) ÷  x    

                x+2

      x   ) x²+2x +1              x²  ÷ x =  x   

            

            ± x²   ....................  x ×  x  =  x²                     

         ------------------                                              

           0 + 2x +1           2x ÷ x =  2                                              

              ±2x                2 × x  = 2x                   

        ------------------                                                    

                0 + 1

भागाकार  =   x +2

 बाकी      =  1

बहुपदीला  द्विपदीने भागणे (To divide a polynomial by a binomial ) :

               x+1

      x +1  ) x²  +  2x +1       x² ÷ x = x    

           

               ± x²   ± x                x × (x+1)                             

             -----------------------                                   

                0   + x   +  1                                                               

                     ± x   ± 1                                                             

                  ------------------                                                     

                               0

परीक्षेसाठी  उदाहरणे :

1] बहुपदीचा भागाकार करताना जेव्हा  भागाकाराची क्रिया पूर्ण  होते  तेव्हा,...................

1) बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा मोठी  असते 

2)बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा लहान असते 

3) बाकी शून्य  उरते. 

4)बाकीची कोटी व  भाजकाची  कोटी समान असते 

उत्तर :(2) व  (3)

बहुपदीचा भागाकार करताना जेव्हा बाकी शून्य उरते किंवा बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा लहान असते तेव्हा भागाकाराची क्रिया पूर्ण  होते. 

 2] ( x³ - 4x² + 6x -3)÷( x- 1) = किती? (2018-19)

1) x²  - 3x + 3          2) x²  - 4 x +3

3)  x²  +  3x - 3        4 ) x² + 4x  - 3

उत्तर :(1)

                                                                           

             x²  -  3x + 3 

 

 x -1  ) x³ - 4x² + 6x -3      x³ ÷ x =x²

       

         ± x³ ∓  x²   . .............  x²×( x-1)                   

         ----------------------------                                                    

          0  - 3x² + 6x -3     -3x² ÷ x = -3x                     

               ∓3x² ± 3x  ..........-3x × (x-1)                           

           ........................... .                                                     

                 0   +3x -3      3x ÷ x = 3 

                             

                       ±3x ∓3........ 3 × (x-1)    

                ........................

                             0                             

भागाकार  =    x²  -  3x + 3 

3]  (2y³+7y² + 7y +3)÷( 2y + 1) या भागाकारातील भागाकार व बाकी लिहा. ? (2015-16)

1) y² + 3y+ 2; 1          2)  y² + 3y+ 2; 2

 3) y² + 3y+ 1; 2        4) y² + 3y+ 2; 0

           उत्तर :(1)   

             y²  +  3y + 2

 

 2y+1) 2y³+7y²+7y+3      2y³ ÷ 2y=y²

     

          ± 2y³±y² . ...........y²×(2y+1)                   

         ----------------------------                                                    

             0 + 6y²+7y+3       6y²÷2y=3y                     

                ± 6y²±3y  ...........3y×(2y+1)                           

          ............................                                    

                   0   + 4y+3      4y ÷ 2y = 2

                             

                       ±4y ±2  ...........2×(2y +1)    

              .........................

                      

                          0  + 1                      

4] A या  बहुपदीला (p-2) ने  भागले असता भागाकार (p+2) येतो,  बाकी 0 येते. तर  A =..................

1) p²+ 4     2) p²- 4    3) p² - 2   4) p+ 4 

 उत्तर :(2)  

भाज्य  = भाजक  ×  भागाकार + बाकी 

A =  (p-2)   × (p+2)  + 0

A =  p²- 4 

5]  (y⁴ + 24y -10y²) ÷ (y+4) या उदाहरणातील भाज्य बहुपदी घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने कशी  लिहिता  येईल? 

1) y⁴+24y-10y²   2) y⁴+y³-10y²+24y

 3) y⁴+0y³-10y²+24y     4) y⁴+0y+24y

उत्तर :(3)  

भाज्य  बहुपदी  = (y⁴ + 24y -10y²) 

भाज्य  बहुपदी  = (y⁴-10y²+24y)

भाज्य  बहुपदीतील पदे  ही घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने नसतील  तर  ती बहुपदी  घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने लिहावी.  ती तशी लिहिताना एखाद्या घातांकाचे पद नसेल तर त्याचा सहगुणक 0 लिहून घातांकांचा उतरता क्रम पूर्ण करावा. 

घातांक 3 असलेले  पद  नाही. ते 0y³लिहू. 

भाज्य बहुपदी घातांकांच्या उतरत्या  क्रमाने :

 (y⁴+ 0y³ - 10y²+24y)

Post a Comment