NMMS-SCHOLARSHIP-EXAM : 58-(Area of a Trangle )

 

कोणीही पाहत नसताना आपले काम जबाबदारीने करणे म्हणजे प्रामाणिकपणा”

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ( Area of a Triangle)

1) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया  × उंची 

2) त्रिकोणाची उंची दिली नसेल परंतु त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची लांबी दिली असेल तर 

ABC त्रिकोणाच्या बाजू जर a, b, c  असतील तर त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे हिरोचे सूत्र (Heron's Formula)

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

A(ΔABC) =√s(s-a)(s-b)(s-c)

s = अर्धपरिमिती = ( a+b+c) / 2

परीक्षेसाठी उदाहरणे :

1] एका त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 84 चौ. सेमी हे त्याच्या पायाच्या 12 पट आहे. तर त्रिकोणाची उंची किती? (2017-18)

1) 24सेमी       2) 12सेमी        3) 16सेमी             4) 18सेमी 

उत्तर : (1)

  

पाया  ×  12   =  क्षेत्रफळ 

पाया  ×  12   =    84

पाया             =    84 / 12

पाया             =    7 सेमी 

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया  × उंची 

                 84     =  1/2 ×  7  × उंची 

                 84     =    7/2   ×  उंची  

  84  ×   2 / 7     =     उंची 

              24        =    उंची 

                उंची     =    24  सेमी. 

 2] एका चौरसाकृती कागदाला त्याच्या कर्णातून एक घडी घातली असता त्या कर्णाची लांबी 12 सेमी  होते, तर या घडीमुळे तयार होणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा. (2009-10)

1) 36 चौ. सेमी.              2) 72 चौ. सेमी.     

3) 144 चौ. सेमी.           4) 48 चौ. सेमी. 

उत्तर : (1)

कच्ची आकृती काढू. 

   चौरसाची बाजू  =  कर्ण /√2

चौरसाची बाजू    =  12/√2

AB = BC = 12/√2

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया  × उंची 

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × AB   × BC 

 त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × 12/√2 ×12/√2

                            =  12×12 / 2 × √2×√2

                           =  12×12/ 2×2

                           =   36 चौ. सेमी.  

3] (ΔLMN) मध्ये l(LM) =60 मी.  l(MN) = 60 मी. आणि ΔLMN  ची अर्धपरिमिती 108 मी आहे. तर l(LN) =? 

1) 60 मी.        2) 66 मी.            3) 96 मी.         4)120 मी. 

 अर्धपरिमिती = ( a+b+c) / 2

108   =    [l(LM) + l(MN) +l(LN)] / 2

108   =   [ 60 + 60+ l(LN)] / 2

108  × 2 =   [ 60 + 60+ l(LN)] 

 

       216              =     120 + l(LN)

216       -   120       =     l(LN)

  96        =     l(LN)

     l(LN)    =    96  मी. 

4] एका त्रिकोणाच्या बाजू  9 सेमी, 40 सेमी, व  41 सेमी आहेत तर त्या  त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती? 

1) 280 चौ. सेमी.        2) 380 चौ. सेमी. 

3) 180 चौ. सेमी.        4) 480 चौ. सेमी. 

उत्तर : (3)

a  =  9,   b  =  40 ,  c  =  41

s = अर्धपरिमिती = ( a+b+c) / 2

s =  (9 + 40 + 41)/ 2

S =  90 / 2

S  =  45

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √45(45-9)(45-40)(45-41)

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √45×36×5×4

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √225×36××4

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 15 × 6 × 2

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 180 चौ. सेमी. 

5]समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या बाजू 13 मी. व  14 मी. आहेत. एका कर्णाची लांबी 15 मी. असेल तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढा. 

1) 168 चौ. मी            2) 158 चौ. मी 

3) 178 चौ. मी             4) 188 चौ. मी 

उत्तर : (1)

समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख भुजा एकरूप असतात. 

AD= BC = 13

AB =DC =14

A(ΔADC)  मध्ये 

AD= 13,     DC =14,   AC  = 15

s = अर्धपरिमिती = ( a+b+c) / 2

S    =  (13+14+15)/ 2

S    =    42/ 2

S    =   21

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

A(ΔADC) =√s(s-a)(s-b)(s-c)

A(ΔADC) =√21(21-13)(21-14)(21-15)

A(ΔADC) =√21(8)(7)(6)

A(ΔADC) =√3×7×2×2×2×7×2×3

A(ΔADC) =√3×3×7×7×2×2×2×2

A(ΔADC) =3×7×2×2

A(ΔADC) =84 चौ. मी 

 

ΔABC मध्ये 

BC = 13

AB =14

AC = 15

ΔABC च्या बाजूंची मापे व ΔADC च्या बाजूंची मापे समान आहेत.  

समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण दोन एकरूप त्रिकोणात विभाजन करतो.  

A(ΔADC) =A(ΔABC) = 84 चौ. मी 

 समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = A(ΔADC) +   A(ΔABC)  =84 + 84 = 168 चौ. मी 

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••©••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

                                           धन्यवाद 

Post a Comment