स्कॉलरशिप परीक्षा - 67 : नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers ) : 2

नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers )

                     नैसर्गिक संख्या | Natural Numbers| मोज संख्या|Counting Numbrs|हा संख्यांचा पहिला प्रमुख प्रकार आहे. संख्यांचा विकास हा मोज संख्यांपासून झालेला आहे. लहानात लहान पहिली नैसर्गिक संख्या 1 आहे. नैसर्गिक संख्या असंख्य (∞) आहेत. सर्व नैसर्गिक संख्या या धन पूर्णांक संख्या आहेत.उदा.1,2,3,4,5,...

             

                 नैसर्गिक संख्यांच्या अभ्यासामध्ये नैसर्गिक संख्यांचा संच N, नैसर्गिक संख्या समूहामध्ये क्रमवार संख्यांमधील अंतर, पहिल्या क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज,दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या वर्ग संख्यांमधील फरक, दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या वर्ग संख्यांमधील पूर्णांक संख्यांची संख्या, क्रमवार नैसर्गिक संख्यांमधील अंतर यांवरील उदाहरणे सोडविण्यासाठी पुढील महत्वाच्या मुद्द्यांचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे :

1) नैसर्गिक संख्यांना मोज संख्या म्हणतात.

2) नैसर्गिक संख्या : 1, 2, 3, 4, 5,...,∞

    नैसर्गिक संख्या अनंत (∞) आहेत.

3) लहानात लहान नैसर्गिक संख्या 1.

4) नैसर्गिक संख्यांचा संच = N ={1,2,3,...}

5) क्रमवार नैसर्गिक सख्यांमध्ये 1 चे अंतर असते.नैसर्गिक संख्येच्या पुढची क्रमवार नैसर्गिक संख्या 1 ने मोठी असते.

पहिली नैसर्गिक संख्या x असेल तर त्या नंतरची

दुसरी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+1

तिसरी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+2

चौथी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+3

6) पहिल्या क्रमवार  'n' नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किंवा

 1 पासून सुरु होणाऱ्या n पर्यंतच्या सर्व क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज = n ( n+1) / 2

   1+2+3+4+... n  =  n (n+1) / 2

उदाहरणार्थ :

1 ते 80 पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज

 =80 ( 80+1)/2

= 80 × 81/ 2

= 40× 81

= 3240

7) दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या वर्ग संख्यांतील फरक :

x व x+1 या नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गसंख्यांतील  फरक = 2x+1

उदाहरणार्थ : 10 व 11

11² - 10² = =2x+1= 2×10 +1= 21

8) दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या  वर्ग संख्यांमधील पूर्णांक संख्यांची संख्या :

 x व x+1 या नैसर्गिक संख्यांच्या वर्ग   संख्यांमधील पूर्णांक संख्यांची संख्या = 2x

उदाहरणार्थ : 5 व 6 

25 व 36 या संख्यांमधील पूर्णांक संख्या   = 2x = 2×5 = 10

9) जर a पासून b पर्यंत क्रमवार संख्या असतील तर,

1) a पासून  b पर्यंतच्या एकूण संख्या = b -a+1

 a पासून b पर्यंतच्या क्रमवार संख्यांची बेरीज = एकूण संख्या × मधली संख्या 

परीक्षेसाठी उदाहरणे :

1] 1 पासून ते 37 पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती?

1) 503           2)703          3) 753    4) 653

उत्तर : (2)

पहिल्या क्रमवार  'n' नैसर्गिक संख्यांची बेरीज 

 = n(n+1)  / 2

= 37 ( 37 + 1 ) /   2

= 37 × 38 / 2

=  37 × 19

=  703

2] चार क्रमवार  नैसर्गिक संख्यांची बेरीज 694 आहे तर सर्वात मोठी संख्या  कोणती?

1) 172            2) 169             3) 175                  4)  176

उत्तर : (3)

पहिली नैसर्गिक संख्या x असेल तर त्या नंतरची

दुसरी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+1

तिसरी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+2

चौथी क्रमवार नैसर्गिक संख्या  = x+3

x + x+1 + x+2 + x+3  =  694

4x  + 6   =   694

4x    =   694   -  6

4x    =  688

x    =  688 / 4

x    =  172

सर्वात मोठी संख्या  =  x+ 3

                             = 172 + 3

                             = 175

3] एका नैसर्गिक संख्येची 12 पट केल्यास ती संख्या 198 ने वाढते.तर ती नैसर्गिक संख्या कोणती?

1) 16          2) 17           3) 28         4) 18

उत्तर : (4)

 

समजा ती  नैसर्गिक संख्या x आहे.

x ची 12 पट =  12x

        ∴  12x   =      x    + 198

∴  12x  - x   =   198

          11x     =  198

              x     =  198 / 11

              x     =  18

ती  नैसर्गिक संख्या x = 18 

4] दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची वजाबाकी 81 येते. तर त्या दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती?

1) 81             2) 61            3) 91      4) 41

उत्तर :  (1)

समजा त्या संख्या  x व x+1 या आहेत.

दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या वर्ग संख्यांतील फरक   =  2x + 1

               फरक   =   2x + 1

                

                81     =  2x + 1

             81  - 1  =  2x

                 80    =    2x

              80 / 2  =  x

                  40   =  x

                 x   =  40

5] क्रमवार  13 नैसर्गिक संख्यांची बेरीज 1963 आहे तर त्यातील 6 वी संख्या  कोणती?

1) 151        2) 150         3) 153      4)  154

उत्तर : (2)

 क्रमवार 13 नैसर्गिक संख्यांपैकी 7 वी संख्या ही मधली संख्या आहे.

क्रमवार संख्यांमध्ये मधली संख्या ही सरासरी असते.

∴ सरासरी  =  1963 / 13

 सरासरी  =  151

7 वी संख्या ही मधली संख्या =  सरासरी  =  151

∴ 6 वी संख्या =  150

6] 47 पासून 84 पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती?

1) 2489      2)  2539  3) 2259      4)  2419

उत्तर : (1)

a पासून b पर्यंतच्या क्रमवार संख्यांची बेरीज = एकूण संख्या × मधली संख्या

= ( b - a +1 )  × (a+b)/2

=  (84 - 47 + 1) × (47+84) / 2

= (37+1) × 131/ 2

=   38 × 65.5

=  2489

7) पहिल्या क्रमवार 32 नैसर्गिक संख्यांची सरासरी किती असेल?

1) 16        2)  15.5          3) 17.5       4)  16.5

उत्तर : (4)

पहिल्या क्रमवार n संख्यांची सरासरी            

= ( n+1 ) / 2

=( 32 +1 )/ 2

= 33 / 2

=  16.5

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••©••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

                                           धन्यवाद 

Post a Comment